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Concepts-clés et théorie¶
DÉFINITION 1¶
Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et $S\subset V$ une collection de vecteurs dans $V.$ On dit que $S$ est linéairement dépendante (ou liée) s'il existe des vecteurs distincts $v_1,\ldots,v_r\in S$ et des scalaires $\lambda_1,\ldots,\lambda_r\in \mathbb{R}$ non tous nuls tels que $\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_rv_r=0.$ (Autrement dit, s'il existe une combinaison linéaire (non triviale) de vecteurs de $S$ qui se réduit au vecteur nul.) S'il n'existe pas de tels vecteurs dans $S,$ alors on dit que $S$ est linéairement indépendante (ou libre).
PROPOSITION 1¶
Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et $v_1,\ldots,v_r\in V$ des vecteurs de $V.$ Alors ces derniers sont linéairement dépendants si et seulement s'il existe $1\leq i\leq r$ tels que $v_i\in \mbox{Vect}(\{v_1,\ldots,v_{i-1},v_{i+1},\ldots,v_r\}),$ c'est-à-dire si et seulement si l'on peut exprimer un des vecteurs de la liste comme une combinaison linéaire des autres.
PROPOSITION 2¶
Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et $S\subset V$ une famille libre de vecteurs dans $V.$ Alors tout sous-ensemble $T\subset S$ est aussi libre.
PROPOSITION 3¶
Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et $S\subset V$ une famille liée de vecteurs dans $V.$ Alors toute collection de vecteurs $T$ contenant $S$ est également liée.
EXERCICE 1¶
Soient:
$$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \ \ v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Trouver une combinaison linéaire telle que:
$$\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$$
Entrez les coefficients $\lambda_i$ dans le vecteur ci-dessous puis exécutez les deux cellules pour vérifier votre réponse.
solution = [1, 0, 2] # Réponse à compléter
ch4_1_2ex1(solution)
Correction: C'est incorrect car: $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$
EXERCICE 2¶
D'après les mêmes données que l'exercice 1, la collection des vecteurs $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$ est-elle liée ?
ch4_1_2ex2()
EXERCICE 3¶
Les collections de vecteurs suivantes sont-elles liées ?
(a)¶
$$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \ \ v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \ \ v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$
ch4_1_2ex3a()
(b)¶
$$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \ \ v_2 = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ 7 \end{pmatrix} \ \ v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix} \ \ v_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
ch4_1_2ex3b()
(c)¶
$$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \ \ v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$
ch4_1_2ex3c()